М.В. Васильева, В.И. Васильев, А.А. Красников, Д.Я. Никифоров
Cеверо-восточный федеральный университет, г. Якутск, 677000, Россия
Аннотация
В работе рассмотрены модели однофазной фильтрации жидкости в трещиноватой среде. Наличие трещин оказывает существенное влияние на процессы фильтрации, поскольку трещины являются каналами высокой проводимости. Математическая модель описана параболическим уравнением для давления. Представлены два подхода к аппроксимации течения в трещинах: подход 1 (посредством задания неоднородных коэффициентов для ячейки, занятой трещиной) и подход 2 (с использованием дискретной модели трещин). Оба подхода позволяют проводить явное моделирование течения в трещинах с использованием сеточных методов. Аппроксимация задачи проведена с использованием метода конечных разностей и метода конечных элементов. Проведено численное сравнение двух представленных методов на модельной двумерной задаче. Представлены результаты моделирования и для трехмерного случая.
Ключевые слова: математическое моделирование, течение однофазной жидкости, фильтрация, трещиноватые пористые среды, неоднородные коэффициенты, дискретная модель трещин, метод конечных разностей, метод конечных элементов
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 17-01-00732 a) и мегагранта Правительства РФ (проект № 14.Y26.31.0013).
Литература
1. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. – М.: Недра, 1982. – 408 с.
2. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. – N. Y.: Elsevier, 1972. – 764 p.
3. Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media Siam. – Dallas, Texas: Southern Methodist Univ., 2006. – 569 p.
4. Васильева М.В., Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса в сильно гетерогенных пористых средах // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2016. – Т. 158, кн. 2. – С. 243–261.
5. Talonov A., Vasilyeva M. On numerical homogenization of shale gas transport // J. Comput. Appl. Math. – 2016. – V. 301. – P.44–52. – doi: 10.1016/j.cam.2016.01.021.
6. Vabishchevich P., Vasil'eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Math. Modelling and Analysis. – 2012. – V. 17, No 4. – P. 532–548. – doi: 10.3846/13926292.2012.706655.
7. Заславский М.Ю., Томин П.Ю. О моделировании процессов многофазной фильтрации в трещиноватых средах в применении к задачам адаптации модели месторождения. Препринт № 45. – М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2010. – 20 с.
8. Томин П.Ю. Математическое моделирование процессов фильтрации в трещиноватых средах: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. – М., 2011. – 147 с.
9. Gong B., Karimi-Fard M., Durlofsky L.J. Upscaling discrete fracture characterizations to dual-porosity, dual-permeability models for efficient simulation of flow with strong gravitational effects // Soc. Pet. Eng. J. – 2008. – V. 13, No 1. – P. 58–67. – doi: 10.2118/102491-PA.
10. Karami-Fard M., Gong B., Durlofsky L.J. Generation of coarse-scale continuum flow models from detailed fracture characterizations // Water Resour. Res. – 2006. – V. 42, No 10. – Art. W10423, P. 1–13. – doi: 10.1029/2006WR005015.
11. Karami-Fard M., Durlofsky L.J., Aziz K. An efficient discrete fracture model applicable for general purpose reservoir simulators // Soc. Pet. Eng. J. – 2004. – V. 9, No 02. – P. 227–236. – doi: 10.2118/88812-PA.
12. Barenblatt G.I., Zheltov I.P., Kochina I.N. Basic concept in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks (strata) // J. Appl. Math. Mech. – 1960. – V. 24, No 5. – P. 1286–1303.
13. Arbogast T., Douglas J. Jr., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal. – 1990. – V. 21, No 4. – P. 823–836. – doi: 10.1137/0521046.
14. Kazemi H., Merrill L.S. Jr., Porterfield K.L., Zeman P.R. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs // Soc. Pet. Eng. J. – 1976. – V. 16, No 6. – P. 317–326. – doi: 10.2118/5719-PA.
15. Warren J.E., Root P.J. The behavior of naturally fractured reservoirs. // Soc. Pet. Eng. J. – 1963. – V. 3, No 3. – P. 245–255. – doi: 10.2118/426-PA.
16. Вабищевич П.Н., Григорьев А.В. Численное моделирование фильтрации флюида в анизотропной трещиновато-пористой среде // Сиб. журн. вычисл. матем. – 2016. – Т. 19, № 1. – С. 61–74. – doi: 10.15372/SJNM20160105.
17. Lee S.H., Jensen C.L., Lough M.F. Efficient finite-difference model for flow in a reservoir with multiple length-scale fractures // Soc. Pet. Eng. J. – 2000. V. 5, No 3. – P. 268–275. – doi: 10.2118/65095-PA.
18. Li L., Lee S.H. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media // SPE Reservoir Evaluation & Engineering. – 2008. – V. 11, No 4. – P. 750–758. – doi: 10.2118/103901-PA.
19. Karimi-Fard M., Firoozabadi A. Numerical simulation of water injection in 2d fractured media using discrete-fracture model // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. – 2001. – SPE Paper 71615. – doi: 10.2118/71615-MS.
20. Kim J.-G., Deo M.D. Finite element, discrete-fracture model for multiphase flow in porous media // AIChE J. – 2000. – V. 46, No 6. – P. 1120–1130. – doi: 10.1002/aic.690460604.
21. Efendiev Y., Lee S., Li G., Yao J., Zhang N. Hierarchical multiscale modeling for flows in fractured media using generalized multiscale finite element method // Int. J. Geomath. – 2015. – V. 6, No 2. – P. 141–162. – doi: 10.1007/s13137-015-0075-7.
22. Akkutlu I.Y., Efendiev Y., Vasilyeva M. Multiscale model reduction for shale gas transport in fractured media // Comput. Geosci. – 2016. – V. 20, No 5. – P. 953–973. – doi: 10.1007/s10596-016-9571-6.
23. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1989. – 616 с. 24. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 589 с.
25. Brenner S., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. – N. Y.: Springer-Verlag, 2007. – XVIII, 400 p.
Поступила в редакцию
31.01.17
Васильева Мария Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент-исследователь кафедры «Вычислительные технологии»
Cеверо-восточный федеральный университет
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: vasilyevadotmdotv@gmail.com
Васильев Василий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедры «Вычислительные технологии»
Cеверо-восточный федеральный университет
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: vasvasil@mail.ru
Красников Алексей Андреевич, аспирант кафедры «Вычислительные технологии»
Cеверо-восточный федеральный университет
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: aleksey.a.krasnikov@gmail.com
Никифоров Дьулустан Яковлевич, аспирант кафедры «Вычислительные технологии»
Cеверо-восточный федеральный университет
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: dju92@mail.ru
Для цитирования: Васильева М.В., Васильев В.И., Красников А.А., Никифоров Д.Я. Численное моделирование течения однофазной жидкости в трещиноватых пористых средах // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 1. – С. 100–115.
For citation: Vasilyeva M.V., Vasilyev V.I., Krasnikov A.A., Nikiforov D.Ya. Numerical simulation of single-phase fluid flow in fractured porous media. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 1, pp. 100–115. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.