Нормальные координаты в аффинной геометрии
М.О. Катанаев
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва, 119991, Россия
Казанский Приволжский федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Рассмотрены многообразия, на которых задана аффинная геометрия общего вида с нетривиальным метрикой, кручением и тензором неметричности. В последнее время такие многообразия привлекают большое внимание в связи с построением обобщенных моделей гравитации. В предположении, что все геометрические объекты являются вещественно аналитическими функциями, построены нормальные координаты в некоторой окрестности произвольной точки путем разложения компонент связности и метрики в ряды Тейлора. Показано, что нормальные координаты являются обобщением декартовой системы координат в евклидовом пространстве на случай многообразий с произвольной аффинной геометрией. При этом компоненты произвольного вещественно аналитического тензорного поля в окрестности каждой точки представляются в виде степенных рядов, коэффициенты которого строятся из ковариантных производных, тензоров кривизны и кручения, вычисленных в точке разложения. Для пространств постоянной кривизны ряды просуммированы в явном виде и найдено выражение для метрики в нормальных координатах. Показано, что нормальные координаты задают гладкое сюрьективное отображение евклидовых пространств на пространства постоянной кривизны. Уравнения экстремалей проинтегрированы в явном виде для пространств постоянной кривизны в нормальных координатах. Проанализирована связь нормальных координат с экспоненциальным отображением.
Ключевые слова: нормальные координаты, гауссовы координаты, римановы координаты
Литература
1. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии // Об основаниях геометрии: Сб. ст. – М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1956. – C. 309–341.
2. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. – М.: Иностр. лит., 1948. – 316 с.
3. Картан Э. Геометрия римановых пространств. – М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. – 244 с.
4. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1967. – 664 с.
5. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. – М.: Наука, 1966. – 496 с.
6. Катанаев М.О. Геометрические методы в математической физике. Приложения в квантовой механике. Часть 1. – М.: МИАН, 2015. – 176 с.
7. Катанаев М.О. Геометрические методы в математической физике. Приложения в квантовой механике. Часть 2. – М.: МИАН, 2015. – 185 с.
8. Eisenhart L.P. Non-Riemannian Geometry. – N. Y.: Am. Math. Soc., 1927. – 184 p.
9. Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т. I. – М.-Л.: ГОНТИ, 1939. – 177 с.
10. Fermi E. Sopra i fenomeni che avvengono in vicinanza di una linea oraria // Atti Acad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fiz. Mat. Nat. – 1922. – V. 31. – P. 21–23, 51–52, 101–103.
11. Катанаев М.О. Векторные поля Киллинга и однородная и изотропная вселенная // Усп. физ. наук. – 2016. – Т. 186 – С. 763–775. – doi: 10.3367/UFNr.2016.05.037808, arXiv: 1610.05628[gr-qc].
12. Катанаев М.О. Лоренц-инвариантные вакуумные решения в общей теории относительности // Труды МИАН. – 2015. – Т. 290. – С. 149–153. arXiv:1602.06331.
13. Whitehead J.H.C. Convex regions in the geometry of paths // Quart. J. Math. Oxford Ser. – 1932. – V. 3. – C. 33–42.
Поступила в редакцию
25.04.16
Катанаев Михаил Орионович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
ул. Губкина, д. 8, г. Москва, 119991, Россия
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: katanaev@mi.ras.ru
Для цитирования: Катанаев М.О. Нормальные координаты в аффинной геометрии // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 1. – С. 47–63.
For citation: Katanaev M.O. Normal coordinates in affine geometry. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 1, pp. 47–63. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.
