В теории дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) понятие решения – это ключевой момент. Как известно, существуют PDE и математические модели, не имеющие ни классического, ни обобщенного решения. Например, уравнение колебания струны, закрепленной на концах отрезка, не имеет обобщенного решения, если параметр уравнения – число Лиувилля. Это противоречит физике процесса.

Стремление изложить теорию разрешимости без предположения о типе изучаемого PDE (эллиптического, гиперболического, параболического) и дать универсальное понятие решения привело к введению понятия φ_В-распределения со значениями в некотором банаховом пространстве В.

Понятие φ-распределения и φ-решения (φ_В = φ, когда В – евклидово пространство) были в свое время введены В.С. Мокейчевым как удобный инструмент для исследования разрешимости ряда PDE и соответствующих математических моделей. К числу главных достоинств пространства φ-распределений относится разложимость его элементов, и только их, в ряды по заданной системе элементов φ.

Построение соответствующей теории в работах В.С. Мокейчева и А.М. Сидорова позволило сконструировать решения для ряда математических моделей, не имеющих решения в пространстве обобщенных функций, в частности, получить решения граничных задач для линейных PDE. 

Недавним достижением в развитии указанной теории стало получение условий, при выполнении которых процесс U(t, x) с математической моделью, имеющей структуру дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, является динамическим, т.е. каждое его состояние определяется начальным состоянием, что эквивалентно однозначной разрешимости соответствующей задачи. При этом пространство разрешимости задачи есть пространство φ_В-распределений специального вида.

PDF-версия

Фото: Солнце на двенадцатом этаже.