25 июля 2019
Научный дайджест: класс Гахова

Казанцев А.В. Класс Гахова: история и последние достижения.

В начале 1990-х в работах ряда зарубежных математиков появились доказательства теоремы о единственности критической точки конформного радиуса в известном классе функций Нехари. Обоснование этой теоремы было впервые обнаружено на Казанском семинаре по геометри-ческой теории функций еще в 1984 г. при изучении работы Ф. Геринга – Х. Поммеренке, где оно было частью проверки другого утверждения, а сама теорема оставалась неизвестной авто-рам ее доказательства! Тогда же метод Геринга – Поммеренке был перенесен на исследование решения внешней обратной краевой задачи: оказалось, что единственность такого решения обеспечивается его включением в класс Нехари. В том же 1984 г. на семинаре была установле-на эквивалентность разрешимости внешней задачи и наличия экстремумов конформного радиуса области. Тем самым были объединены две ветви одной теории, параллельно развивавшиеся с середины ХХ в. – начиная с классических работ Д. Полиа – Г. Сегё – Х. Хиги по изопериметрии в математической физике и Ф.Д. Гахова по обратным краевым задачам в гидроаэромеханике.

Развитие указанной теории в последние годы было связано с регулярным классом Гахова Г, объединяющим все голоморфные функции с единственной критической точкой (максимумом) конформного радиуса. Оказалось, что в рамках Г класс Нехари расширяется до серии классов единственности типа Эпштейна, определяемых линейно выпуклыми областями Хартогса. Ряд достижений связан с методом гаховских барьеров и экстремалей, который заключается в исчерпании некоторого класса Х семейством подклассов Хa = { f af  из Х}, a ≥ 0, со специальным выбором траекторий  f a. Гаховский барьер ρ(Х) класса Х – значение параметра выхода из класса Г, гаховская экстремаль – семейство функций  f  из Х таких, что собственный параметр выхода  f a из Г совпадает с ρ(Х). Для большинства классов выход из Г вдоль экстремали связан с бифуркацией максимума; важнейшим результатом последнего времени явилось открытие нового источника классов, отвечающих бифуркации полуседла. Классическая линия исследований продолжилась добавлением в Г известных классов Сингхов, Шапеля, Силвермана и Мокану-Яновского. 

PDF-версия -- в разделе "Научный дайджест"

Источник информации: Казанцев А.В., доцент кафедры математической статистики КФУ