Казанцев А.В. Стохастические модели в экономике и технике
Памятники истории кафедры математической статистики.
Вашему вниманию предлагается вариант «рекламного ролика» КМС середины 90-х, написанный для стенда кафедры по инициативе ее руководителя, профессора И.Н. Володина. Следует отметить, что «конкуренты» отнеслись к «ролику» очень серьезно, затеяв ремонт и закрыв наш стенд грудой мебели... Однако этот текст, исполненный трогательной претенциозности, все-таки достиг цели: набор студентов на КМС был увеличен почти вдвое; неоценимую помощь при этом оказал нам Г.В. Семенов, работавший тогда на кафедре экономической кибернетики (нынешняя КАДИО).
Наверное, именно поэтому центральными темами этого «текстового клипа» стали страховая и финансовая математика, изучавшиеся тогда на семинаре Г.В. Семенова – М.Д. Миссарова на КЭК, в котором принимал участие автор текста. Крен в сторону экономической тематики был выправлен за счет теории надежности и контроля качества продукции (И.Н. Володин), а также применения математической статистики в археологии (Е.А. Беговатов), но соответствующие тексты пока не удается обнаружить. В ожидании восстановления утерянных страниц мы приводим экономическую часть «ролика» под общим названием
Стохастические модели в экономике и технике
(Профиль специализации)
Идея: И.Н. Володин, Е.А. Беговатов
Темы: И.Н. Володин, Е.А. Беговатов, Г.В. Семенов, М.Д. Миссаров
Текст и образы: А.В.Казанцев
Эпоха: 1992 – 1995 гг.
Одним из наиболее ярких и плодотворных достижений математики ХХ века явилось создание стохастического анализа. Отражая глобальные изменения в ноосфере и отвечая связанным с ними потребностям естествознания, техники и гуманитарных наук, стохастический анализ сложился как система математических дисциплин с широкой проблематикой, выразительной внутренней эстетикой и многообразием приложений, во многом определяя лицо науки в эпоху постмодернизма. Лазерное и психотронное оружие, демография и политология, страхование и теория финансов – вот далеко не полный перечень наиболее важных областей применения стохастического моделирования.
Отдавая должное естественнонаучным моделям, остановимся подробнее на приобретающих ныне все большую популярность страховой и финансовой математике.
I. Ax или Ψ(u) = (λμ/c) e – (1 – λμ/c)u/μ ?
В системе страхования можно выделить три последовательно подчиненных уровня, которым соответствуют три основных этапа становления этой системы и, соответственно, три исторически сложившихся подхода к страхованию:
страхователь – страховщик π = E(S) теория страховой премии XVIII –
(классическая актуарная начало
математика) XX в.
рисковые -- страховая теория разорения страховой 1-ая поло-
сообщества -- фирма P{U(t) < 0} < ε фирмы вина XX в.
система страхования и P{0 < R < d aut l < R < ∞} теория риска (оптимизация начало
перестрахования versus распределения риска между 1960-х гг.
в целом P{d < R < l} страховщиками; управление – наст.
риском) время
Технологическая и структурная модернизация экономики ведущих стран Запада в период после окончания Второй мировой войны привела к необходимости более тесной кооперации промышленности и страхования. Цель такой кооперации – покрытие ущерба от последствий реализации наиболее опасных, так называемых катастрофических рисков, т.е. рисков, связанных со стихийными бедствиями. Продолжением указанных процессов явилась интеграция страхования – как организации денежных фондов для возмещения потенциального ущерба – с другими видами страховой защиты в рамках концепции управления риском.
Управление риском -- комплекс мероприятий по ограничению или минимизации риска в системе хэкономических отношений: статистика → оценивание риска → выработка рекомендаций → принятие решений
Математический аппарат: теория вероятностей и математическая статистика,
теория игр и теория полезности,
исследование операций
В России традиции страхования (как, впрочем, и многие другие) были прерваны в 1917 году, и, по-существу, все достижения страховой науки того времени оказались законсервированными на 70 лет вплоть до конца 80-х гг., когда на страховой рынок вышли первые отечественные фирмы. Естественно, что в настоящее время наиболее актуальной для возрождающейся российской страховой науки является проблематика, связанная с деятельностью страховой компании – расчеты премий, определение резервов, оптимизация удержаний при перестраховании и т.д. – словом, те задачи, которые получили достаточное развитие в работах нескольких поколений европейских и американских актуариев. Все это диктует настоятельную необходимость в подготовке специалистов по страховой математике и страховому бизнесу, которым суждено выполнить трудную, но благородную миссию – вывести российское страхование на уровень высших мировых стандартов.
II. W = S·Ф(d1) – E·e–r0τ ·Ф(d2)
«В дни благоденствия нужно расшвыривать обеды направо и
налево, чтобы в дни невзгод хоть изредка пожинать таковые».
Атос
Существует точка зрения, согласно которой дни благоденствия – это расцвет страхования, а дни невзгод – расцвет спекуляции. Этот, впрочем, не бесспорный тезис вполне приложим к нашей жизни. Действительно, в дни застойного благоденствия спекуляция запрещалась, хотя и процветала (о страховании лучше не вспоминать), зато сейчас, в дни невзгод, она стала нормой поведения, а страхование стало спекуляцией на разнице цен... во времени (вот почему сейчас так выгодно им заниматься, и так невыгодно прибегать к его услугам).
Как Вы, наверное, уже догадались, у спекуляции существует строгая научная база –
Финансовая математика.
И хотя она, эта база, стремится к тому, чтобы оптимизировать условия, при которых арбитраж[1] невозможен, очевидно, что математический аппарат можно приспособить к оптимизации условий, прямо противоположных.
К чести финансовой математики следует отметить, что первым исследованием, возвестившим миру о ее рождении, было математическое описание стохастического процесса, известного ныне как броуновское движение. Такое описание потребовалось отцу-основателю новой науки, Луи Башелье, для реализации следующей простой идеи, лежащей в основе любой современной работы по финансовой математике.
Моделируем броуновским движением (или каким-либо его обобщением, или другим случайным процессом) флуктуации цен интересующих нас активов, а затем на фоне этого «шума» решаем свои личные проблемы в виде, например, стохастических дифференциальных уравнений.
Башелье намеревался развить теоретическое оценивание различных типов опционов и сравнить то, что получится, с их наблюдаемыми рыночными ценами. В этом он, по-видимому, не сильно преуспел, так как славу открытия и построения теории броуновского движения, его обобщений и приложений разделили А. Эйнштейн и Н. Винер. (К чему это привело в естествознании и технике, мы с Вами уже знаем.) Только в 1965 г. другой великий – П. Самуэльсон – произведя надлежащие усовершенствования в подходе Башелье (какие – Вы узнаете, прослушав наши спецкурсы), вдохнул новую жизнь в финансовую математику. И уже в 1973 г. Ф. Блэк и М. Скоулз[2] произвели на свет сенсацию, обнаружив, что при некоторых (как потом выяснилось, близких к реальности) условиях «инвесторы могут в действительности удваивать поток платежей по опциону КОЛЛ с помощью ловкого управления портфелем, содержащим только акции и облигации».
В течение последующих двадцати лет финансовая математика превратилась в грандиозное здание, основанное на фундаменте, заложенном Блэком и Скоулзом и выходящее фасадом на Уолл-стрит. В своем современном виде оно зиждется на трех столпах:
– проблема ценообразования (опционов; задолженностей; активов фирмы; контрактов по гарантированию размещения займа или ценных бумаг или обеспеченных займов; страхового ценообразования и т.д., и т.п.)
– проблема оптимального выбора портфеля, с выходом на теорию портфеля Марковица-Шарпа;
– проблема равновесия в финансовом рынке.
…………………………………
Итак, если Вы хотите знать ВСЁ-ВСЁ-ВСЁ о финансовой и страховой математике, в частности,
– научиться формировать инвесторский портфель;
– уметь вычислять цены опционов КОЛЛ и ПУТ,
как европейских, так и американских;
– определить, во сколько обойдется Вашим наследникам
страхование Вашей жизни;
– знать, чем отличается спрэд кондор от стеллажа;
– организовать собственную страховую компанию,
то Вам в этом помогут:
ПРЕПОДАВАТЕЛИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
[1] Игра на разнице цен.
[2] В оригинале Scholes. Сейчас везде пишут Шоулз. Но тогда, в начале 90-х мы рассуждали просто: если school читается как «скул», то и Scholes должно читаться как «Скоулз». Ведь если Шоулз, то должно было быть Sholes, нет?