Скончался британский математик Майкл Атья

Британский математик сэр Майкл Фрэнсис Атья (Michael Francis Atiyah), лауреат премий Абеля и Филдса, известный своим вкладом в алгебраическую геометрию и топологию, скончался 11 января 2019 года в возрасте 89 лет. Майкл Атья, родившийся в 1929 году, с 1962 года был членом Королевского общества, а с 1990 по 1995 год был его президентом. Более всего он был известен благодаря своему вкладу в развитие топологической К-теории, а также доказательством теоремы о равенстве индексов — теоремы Атья-Зингера. Помимо чистой математики, Атья занимался и теоретической физикой — известны его работы в области квантовой теории и общей теории относительности.
Математик был удостоен множества наград, включая Филдсовскую премию 1966 года, Медаль Королевского общества 1968 года, Премию Абеля 2004 года. Кроме того, в 1983 году он был возведен в рыцари, а 2001 году стал кавалером французского ордена Почетного легиона.

Часть первая. Алгебраическая геометрия.
Свой научный путь в 50-х годах прошлого века Атья начал в алгебраической геометрии под руководством шотландского математика Уильяма Ходжа (чье имя носит гипотеза, ставшая одной из задач тысячелетия).

Но самая первая его статья была посвящена соответствиям, которые получаются из касательных прямых к скрученной кубике. В обычном трехмерном пространстве скрученную кубику можно увидеть как кривую, чьи проекции на две ортогональные плоскости выглядят как парабола и график кубической функции соответственно (см. рисунок).

Свой первый результат Атья изложил на двух страницах, когда был второкурсником Кэмбриджа.

Уже будучи аспирантом, Атья активно следил за развитием модного в то время языка теории пучков, позволявшего согласующимся образом переговорить многие уже доказанные, но разобщенные результаты алгебраической геометрии.

За одну из подобных работ, посвященную линейчатым поверхностям (примером которых служит столь любимая математиками Шуховская башня), Атья в 1954 году получил приз Смита и решил продолжать именно математическую карьеру, пожертвовав другими своими интересами — архитектурой и археологией.

Часть вторая. Топологическая К-теория.
После года работы в Принстоне (бóльшую часть своей академической жизни он провел в Англии) Атья стал активно интересоваться математическими объектами, которые называются векторные расслоения над многообразиями. Простым, но нетривиальным примером расслоения может послужить лента Мёбиуса, расслоенная над окружностью.

Неформально говоря, к каждой точке многообразия, в данном случае окружности, «приклеивается» векторное пространство, в данном случае прямая, причем склейка может непрерывно меняться в зависимости от точки. Зафиксируем вектор на прямой в какой-нибудь точке окружности и начнем движение вдоль окружности, непрерывно обнося при этом вектор вдоль расслоения.

Несложно увидеть, что направление вектора меняется на противоположный при полном обходе вокруг окружности. Это и отражает нетривиальность данного расслоения.

Топологическая К-теория изучает векторные расслоения с помощью алгебраических структур, такие как кольца — множества с заданными операциями сложения и умножения. Так, операция сложения на расслояниях определена как прямая сумма векторных пространств в каждой точке, а операция умножения — как тензорное произведение.

Например, рассмотрим нулевую вещественную К-теорию на окружности. Что получится, если сложить ленту Мёбиуса с самой собой?

Оказывается, что получится тривиальное расслоение окружности плоскостями. Чтобы это увидеть, проще пойти с конца: про такое расслоение плоскостями можно думать как про набор кругов, приклеенных к каждой точке окружности, вместе образующих полноторие, как на предыдущей картинке (это только видимая часть расслоения, но ее будет достаточно).

Теперь про каждую из лент Мёбиуса можно думать как про подрасслоение полнотория. Поскольку в каждой точке окружности на рисунке слева векторы расслоений лентами Мёбиуса не совпадают, мы получаем разбиения тривиального расслоения в прямую сумму двух лент Мёбиуса.

Топологическая К-теория, разрабатывавшаяся Атьёй на протяжении десятилетия, немедленно получила множество применений в алгебраической топологии, как, к примеру, в случае с инвариантом Хопфа для сфер любой размерности. Однако область ее применения оказалась еще шире.

Часть третья. Теория индекса.
Поскольку интуицию, стояющую за глубокой и фундаментальной теоремой Атьи-Зингера в ее самой общей формулировке неспециалисту передать трудно, мы проиллюстрируем частный случай этой теоремы — классическую и старую формулу Гаусса-Бонне для поверхностей. На этом примере будет виден общий принцип: локальные свойства объекта определяют его глобальные свойства.

В данном случае это будут гауссова кривизна поверхности и ее топология. Каждая хорошая (или, как говорят топологи, компактная, ориентированная и без края) поверхность — одна из следующих (как на рисунке слева).

Это топология. Первая поверхность — это сфера, вторая — тор, или поверхность бублика. Легко видеть, что поверхности классифицируются числом «дырок». Это число g называется родом поверхности. Топологическая поверхность — «мягкий» объект, его можно смело деформировать, и он останется тем же (если не допускать самопересечений).

Однако на поверхности можно задать геометрию и, таким образом, придать ей форму. Локально форму поверхности можно описать с помощью кривизны. Окрестность точки положительной кривизны выглядит как поверхность сферы, нулевая кривизна выглядит как участок плоскости, а отрицательная — как седловая точка (см. рисунок слева).

Формула Гаусса-Бонне утверждает, что интеграл кривизны по поверхности равен 2π(2-2g) (число 2-2g еще называется эйлеровой характеристикой поверхности).

Например, в случае тора мы получаем, что этот интеграл равен нулю. Это не кажется поразительным, если думать о торе как о плоском квадрате со склеенными противоположными сторонами, но не очевидно для рисунка слева.

Легко видеть, что на внешней стороне тора кривизна положительная, а во внутренней — отрицательная. Таким образом, положительный и отрицательный вклад в кривизну должны уравновешивать друг друга.

Отметим, что изначальное доказательство теоремы об индексе опиралось на К-теорию.

Часть четвертая. Дружба геометрии и физики.

К огромному удивлению самого Атьи, его работы по теории индекса нашли применение в калибровочных теориях теоретической физики. Ближе к концу 70-х годов его интересы сместились в сторону взаимосвязей между геометрией и физикой. Тогда от своего соавтора Зингера он узнал об уравнениях Янга-Миллса, описывающих фундаментальные взаимодействия элементарных частиц, в частности поведение глюонов. Как раз в то время эти уравнения начали циркулировать в математическом сообществе.

Атья был среди первых, кто классифицировал инстантоны в четырехмерном евклидовом пространстве. Инстантоны — это топологически нетривиальные решения уравнений Янга-Миллса, которые минимизируют функционал энергии в данном топологическом типе. Физически инстантоны определяют быстрые, но существенные флуктуации в конфигурации калибровочного поля, которые необходимо учитывать на малых расстояниях. Математически подход Атьи заключался в сведении задачи к вопросу об уже упоминавшихся векторных расслоениях.

В среде студентов-математиков, Атья больше всего известен как автор «канонического» учебника по коммутативной алгебре, написанного совместно с Иэном Макдональдом. Если вы начинающий математик или подумываете о том, чтобы им стать, вам, возможно, будет интересно ознакомиться с профессиональными советами от Майкла Атьи или послушать, что он говорит о красоте в математике (на английском языке).

Пройдет всего несколько лет, и сотрудничество геометрии и физики начнет приобретать совершенно иной масштаб — теоретическая физика привнесет во многие области чистой математики свою интуицию и свои методы. Так, уже без непосредственного участия самого Атьи возникнут удивительные математические объекты, такие как квантовые когомологии, инварианты Дональдсона 4-многообразий, инварианты Громова-Виттена и многие другие.