Метод построения конформного отображения единичного круга на риманову поверхность

П.Н. Иваньшин

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Полный текст PDF

Аннотация

В статье приведен метод построения конформного отображения единичного круга на риманову поверхность (отображение с неоднолистным образом). В случае области, лежащей на римановой поверхности, построение конформного отображения единичного круга на нее сведено к решению интегрального уравнения. Дан вывод необходимых соотношений из формул Сохотского. Построен пример, иллюстрирующий метод для двулистно накрывающей плоскость римановой поверхности.

Необходимое и достаточное условие того, что заданная на замкнутой кривой функция является граничным значением некоторой функции, аналитической в находящейся на римановой поверхности области, ограниченной данной кривой, примененное для отображения единичного круга на односвязную и однолистную область и обеспечивающее появление интегрального уравнения, следует несколько изменить.

Для функции φ(z) = ln(ζ(z)/z) можно выписать уравнения, аналогичные уравнениям для однолистной области, но на участках контура, ограничивающих область двулистности, необходимо поделить правую часть на три.

Ключевые слова: конформное отображение, риманова поверхность, аналитическая функция, уравнение Фредгольма

Литература

  1. Conway J.B. Functions of One Complex Variable. – N. Y.; Berlin: Springer-Verlag, 1978. – XIV, 322 p. – doi: 10.1007/978-1-4612-6313-5.
  2. Grassmann E. Numerical experiments with a method of successive approximation for conformal mapping // Z. Angew. Math. Phys. – 1979. – V. 30, No 6. – P. 873–884. – doi: 10.1007/BF01590486.
  3. Porter R.M. An accelerated osculation method and its application to numerical conformal mapping // Complex Var. Theory Appl. – 2003. – V. 48, No 7. – P. 569–582. – doi: 10.1080/0278107031000110892.
  4. Driscoll T.A., Trefethen L.N. Schwarz–Christoffel Mapping. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002. – XVI, 132 p. – doi: 10.1017/CBO9780511546808.
  5. Driscoll T.A., Vavasis S.A. Numerical conformal mapping using cross-ratios and Delaunay triangulation // SIAM J. Sci. Comput. – 1998. – V. 19, No 6. – P. 1783–1803. – doi: 10.1137/S1064827596298580.
  6. Symm G.T. An integral equation method in conformal mapping // Numer. Math. – 1966. – V. 9, No 3. – P. 250–258. – doi: 10.1007/BF02162088.
  7. Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. V. 3: Discrete Fourier analysis, Cauchy integrals, construction of conformal maps, univalent functions – . N. Y.: John Wiley & Sons, 1986. – 637 p.
  8. Fornberg B. A numerical method for conformal mappings // SIAM J. Sci. Stat. Comput. – 1980. – V. 1, No 3. – P. 386–400. – doi: 10.1137/0901027.
  9. Wegman R., Murid A.H.M., Nasser M.M.S. The Riemann–Hilbert problem and the generalized Neumann kernel // J. Comput. Appl. Math. – 2005. – V. 182, No 2. – P. 388–415. – doi: 10.1016/j.cam.2004.12.019.
  10. Wegman R. An iterative methods for conformal mapping // J. Comput. Appl. Math. – 1986. – V. 14, No 1–2. – P. 7–18. – doi: 10.1016/0377-0427(86)90128-7.
  11. Marshall D.E., Rohde S. Convergence of a variant of the zipper algorithm for conformal mapping // SIAM J. Numer. Anal. – 2007. – V. 45, No 6. – P. 2577–2609.
  12. Shirokova E.A. On approximate conformal mapping of the unit disk on an simply connected domain // Russ. Math. – 2014. – V. 58, No 3. – P. 47–56. – doi: 10.3103/S1066369X14030050.
  13. Shirokova E.A., Ivanshin P.N. Approximate conformal mappings and elasticity theory // J. Complex Anal. – 2016. – V. 2016. – Art. 4367205, P. 1–8. – doi: 10.1155/2016/4367205.
  14. Abzalilov D.F., Shirokova E.A. The approximate conformal mapping onto simply and doubly connected domains // Complex Var. Elliptic Equations. – 2017. – V. 62, No 4. – P. 554–565. – doi: 10.1080/17476933.2016.1227978.
  15. Abzalilov D.F., Shirokova E. A. The approximate conformal mapping onto multiply connected domains // Probl. Anal. Issues Anal. 2019. – V. 8, No 1. – P. 3–16. – doi: 10.15393/j3.art.2019.5050.
  16. DeLillo Th.K., Elcrat A.R. A Fornberg-like conformal mapping method for slender regions // J. Comput. Appl. Math. – 1993. – V. 46, No 1–2. – P. 49–64. – doi: 10.1016/03770427(93)90286-K.
  17. Warschawski S.E. On conformal mapping of variable regions // Nat. Bur. Stand. Appl. Math. Ser. – 1952. – V. 18. – P. 175–187.
  18. Li B.C., Syngellakis S. Numerical conformal mapping based on the generalised conjugation operator // Math. Comput. – 1998. – V. 67, No 222. – P. 619–639.
  19. Hough D.M., Papamichael N. An integral equation method for the numerical conformal mapping of interior, exterior and doubly-connected domains // Numer. Math. – 1983. – V. 41, No 3. – P. 287–307. – doi: 10.1007/BF01418327.
  20. Kress R. Inverse problem and conformal mapping // Complex Var. Elliptic Equations. – 2012. – V. 57, No 2–4. – P. 301–316. – doi: 10.1080/17476933.2011.605446.
  21. Gakhov F.D. Boundary Value Problems. – Pergamon, 1966. – 584 p.
  22. Tricomi F.G. Integral equations. – N. Y.: Dover Publ. Inc., 1985. – 256 p.

Поступила в редакцию

13.09.17

 

Иваньшин Петр Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: pivanshi@yandex.ru

 

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.