А.А. Арбузов1, Р.З. Даутов2, Е.М. Карчевский2, М.М. Карчевский2, Д.В. Чистяков1
1Компания TGT Oilfield Services, г. Казань, 420108, Россия
2Казанский 
Приволжский
федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Описаны способы сведения квазистационарной системы уравнений Максвелла к системе уравнений относительно либо поля электрической напряженности, либо поля магнитной напряженности. Сформулировано понятие обобщенного решения краевых задач в ограниченных областях для полученных систем уравнений. Устанавливаются условия существования и единственности обобщенных решений. Специально рассмотрен случай осевой симметрии исходных задач, на этой основе предлагается класс тестовых примеров. Эти примеры имеют точные решения, передающие основные особенности решений исходных задач. Сконструированы приближенные методы решения, основанные на конечноэлементных аппроксимациях пространственных операторов. Особое внимание уделено методам на тетраэдральных сетках. Использованы как узловые (лагранжевы) элементы, так и элементы Неделека нулевого и первого порядков. При помощи сконструированных тестовых примеров проведено сравнение вычислительной эффективности предложенных методов конечных элементов. В случае небольших перепадов коэффициентов уравнений и использования регулярных сеток конечных элементов метод, использующий элементы Неделека первого порядка демонстрирует определенные преимущества по точности и трудоемкости.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, квазистационарное приближение, метод конечных элементов, тестовые примеры
Благодарности. Работа выполнена за счет средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности, проект № 1.12878.2018/12.1.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 621 с.
2. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике – М.: Наука, 1980. – 382 с.
3. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. – 616 с.
4. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. – М.: Наука, Физматлит, 1995. – 315 c.
5. Acevedo R., Meddahi S., Rodriguez R. An E-based mixed formulation for a time-dependent eddy current problem // Math. Comput. – 2009. – V. 78, No 268. – P. 1929–1949.
6. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Система уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении // Вестн. ННГУ. Сер. Матем. моделирование и оптимальное управление. – 2001. – Вып. 1. – С. 97–106.
7. Rapettia R., Rousseaux B. On quasi-static models hidden in Maxwell's equations // Appl. Numer. Math. – 2014. – V. 79. – P. 92–106. – doi: 10.1016/j.apnum.2012.11.007.
8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 407 с.
9. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высш. шк., 1977. – 423 с.
10. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Уравнения математической физики. Дополнительные главы. – СПб.: Лань, 2016. – 276 с.
11. Калинин А.В. Математические задачи физической диагностики. Корректность задач электромагнитной теории в стационарном и квазистационарном приближении. – Н. Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 2007. – 121 с.
12. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 с.
13. Zeidler E. Nonlinear Functional Analysis and its Applications. II/A: Linear monotone operators. – N. Y.: Springer-Verlag, 1990. – XVIII, 467 p. – doi: 10.1007/978-1-4612-0985-0.
14. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1980. – 512 с.
15. Nédélec J.C. A new family of mixed finite elements in R3// Numer. Math.– 1986. – V. 50, No 1. – P. 57–81. – doi: 10.1007/BF01389668.
16. Rodriguez A.A., Valli A. Eddy Current Approximation of Maxwell Equations. Theory, Algorithms and Applications. – Springer-Verlag, 2010. – XIII, 347 p. – doi: 10.1007/978-88-470-1506-7.
Поступила в редакцию
15.03.18
Арбузов Андрей Александрович, кандидат физико-математических наук
Компания TGT Oilfield Services
ул. Магистральная, д. 59, г. Казань, 420108, Россия
E-mail: info@tgtoil.com
Даутов Рафаил Замилович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: Rafail.Dautov@kpfu.ru
Карчевский Евгений Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: Evgenii.Karchevskii@kpfu.ru
Карчевский Михаил Миронович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: Mikhail.Karchevsky@kpfu.ru
Чистяков Дмитрий Владимирович, кандидат физико-математических наук
Компания TGT Oilfield Services
ул. Магистральная, д. 59, г. Казань, 420108, Россия
E-mail: info@tgtoil.com
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.