Кафедра геометрии Казанского государственного университета организована в 1934 году после разделения кафедры математики на несколько специальных кафедр. Ее первым заведующим был выдающийся геометр Петр Алексеевич Широков (1895–1944). П.А.Широков одним из первых в нашей стране применил тензорные методы в геометрических исследованиях, с помощью которых им был решен ряд важных проблем теории римановых и обобщенных пространств. В 1934 г. вышла написанная им широко известная книга «Тензорное исчисление». П.А.Широковым был впервые выделен и исследован класс симметрических пространств, характеризующихся обращением в нуль ковариантной производной тензора кривизны, им был открыт класс комплексных пространств с гибридными метриками, названных им A-пространствами и впоследствии получивших название кэлеровых пространств. Научные интересы П.А.Широкова во многом определили направление исследований на кафедре геометрии, им был воспитан ряд учеников, из которых Б.Л.Лаптев, И.П.Егоров, А.З.Петров, П.И.Петров стали докторами наук.
В 1945 г. кафедру геометрии возглавил Александр Петрович Норден (1904–1993), один из самых ярких ученых Казанского университета, труды которого оказали существенное влияние на направление геометрических исследований во второй половине ХХ века как в нашей стране, так и за рубежом. В 1937 году А.П.Норден защитил докторскую диссертацию «О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства», в которой им был предложен универсальный метод построения связностей на поверхностях проективного пространства, вошедший в историю науки как метод нормализации Нордена. Научные интересы А.П.Нордена были чрезвычайно широки, они охватывали такие области геометрии как пространства аффинной связности, биаксиальные и биаффинные пространства, конформная геометрия, линейчатая геометрия, теория сетей, научное наследие Н.И.Лобачевского. В 1950 году в издательстве «Физматгиз» вышла монография А.П.Нордена «Пространства аффинной связности», ставшая настольной книгой для нескольких поколений геометров. Применение А.П.Норденом и его учениками коммутативных ассоциативных алгебр в геометрии обобщенных пространств и дифференцируемых многообразий привело к появлению нового научного направления – теории многообразий над алгебрами, ставшего одним из основных направлений исследований кафедры геометрии Казанского университета. А.П.Норденом были написаны учебники «Краткий курс дифференциальной геометрии», переведенный на ряд иностранных языков и «Теория поверхностей», в котором на современном языке, с использованием тензорного анализа, изложены классические результаты теории поверхностей. Под руководством А.П.Нордена защищено около 40 кандидатских диссертаций. Семь его учеников Р.Г.Бухараев, В.И.Ведерников, В.В.Вишневский, А.И.Чахтаури, А.П.Широков, В.И.Шуликовский и В.В.Шурыгин стали докторами наук.
В основу докторской диссертации Бориса Лукича Лаптева (1905–1989) легли его исследования по теории пространств опорных элементов или, в другой терминологии, расслоения дифференциально-геометрических объектов. В изучаемых пространствах Б.Л.Лаптев развил аппарат дифференцирования Ли, указал приложения этого аппарата к исследованию групп автоморфизмов полей дифференциально-геометрических объектов различных типов, а также инвариантному вычислению различного типа интегралов, развил теорию связностей и теорию дифференциальных инвариантов. Изучение различных специальных типов пространств опорных элементов продолжили ученики Б.Л.Лаптева и в их числе Борис Никитович Шапуков.
Алексей Зиновьевич Петров (1910–1972) защитил в 1943 году кандидатскую диссертацию по проблеме геодезических отображений римановых многообразий. В послевоенные годы его научные интересы переместились в область приложений геометрических методов к теории физического поля. В 1952-1954 годах он установил, что в соответствии с алгебраической структурой тензора кривизны существует только три типа четырехмерных пространств Эйнштейна сигнатуры Лоренца. Впоследствии в мировой литературе эти типы получили название типов Петрова. В докторской диссертации А.З.Петрова были разработаны инвариантно-групповые методы изучения полей тяготения. В 1960 году А.З.Петров возглавил организованную им кафедру теории относительности и гравитации на физическом факультете Казанского университета. В 1969 года А. З. Петров избирается академиком АН УССР, а в 1970 году возглавляет отдел теории относительности и гравитации Института теоретической физики АН УССР. В 1972 году за цикл работ «Инвариантно-групповые методы исследования в теории гравитации» А. З. Петрову была присуждена Ленинская премия. Результаты исследований А.З.Петрова и его учеников вошли в монографии «Пространства Эйнштейна» (1961 г.) и «Новые методы в общей теории относительности» (1966 г.), переведенные на многие иностранные языки.
Работы другого ученика П.А.Широкова, Петра Ивановича Петрова, посвящены дифференциальным инвариантам римановых пространств. Им был построен наипростейший базис метрических скалярных дифференциальных инвариантов третьего порядка трехмерных римановых пространств.
Ученик А.П.Нордена Валентин Иванович Шуликовский (1922–1973) систематизировал и развил теорию сетей двумерных пространств аффинной связности. Результаты его исследований вошли в монографию «Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении» (М. 1963).
Исследования Александра Петровича Широкова (1926–1998), сына П.А.Широкова и ученика А.П.Нордена, заведующего кафедрой геометрии с 1980 по 1993 год, принадлежат, главным образом, области геометрии пространств над алгебрами. Им была развита общая теория дифференцируемых многообразий и пространств аффинной связности над ассоциативными коммутативными унитальными алгебрами, введены структуры многообразий над локальными алгебрами на касательных расслоениях высших порядков и расслоениях Вейля, что позволило естественным образом построить теорию лифтов геометрических структур на эти расслоения. В работах А.П.Широкова и его многочисленных учеников были исследованы различные аспекты теории пространств над алгебрами и ее приложений в линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств, к теории касательных расслоений. А.П.Широковым на основе конспекта лекций П.А.Широкова была опубликована монография «Аффинная дифференциальная геометрия» (ГИФМЛ, 1959), переведенная на немецкий язык. Результаты А.П.Широкова и его учеников частично вошли в книгу «Пространства над алгебрами» (Казан. ун-т, 1985), написанную совместно с В.В.Вишневским и В.В.Шурыгиным.
Геометрии пространств над алгебрами посвящены и исследования ученика А.П.Нордена Владимира Владимировича Вишневского (1929–2007). В докторской диссертации «Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами», им была решена задача интерпретации дифференцируемого многообразия с заданной на нем произвольной интегрируемой аффинорной структурой как вещественной реализации дифференцируемого многообразия над алгеброй, была развита теория чистых и гибридных относительно инволюции в алгебре тензоров, построена вещественная реализация тензорных операций в пространствах над фробениусовыми алгебрами. В дальнейшем В.В.Вишневским была построена универсальная модель расслоенного пространства, несущего интегрируемую структуру нерегулярного представления алгебры плюральных чисел – полукасательное расслоение. Результаты исследований В.В.Вишневского и его учеников частично вошли в указанную выше книгу «Пространства над алгебрами» (Казан. ун-т, 1985).
Темой научных работ Алексея Семеновича Подковырина (род. в 1934 г.), ученика А.П. Нордена, является геометрия поверхностей биаффинных и унитарных пространств. В его исследованиях также существенно используется метод нормализации А.П. Нордена.
Область научных интересов Бориса Никитовича Шапукова (1937–2007), ученика Б.Л.Лаптева, заведующего кафедрой геометрии в 1993-2007 годах, – дифференциальная геометрия расслоенных многообразий и их приложения. В своих работах он развил общую теорию линейных связностей и дифференцирования Ли на тотальных пространствах гладких расслоений, исследовал некоторые структуры, естественным образом возникающие на расслоенных многообразиях, выяснил роль симметрической группы в геометрии тензорных расслоений и показал, что всякое тензорное расслоение обладает естественной почти алгебраической структурой. На этом пути им было получено широкое обобщение результатов Б.Л.Лаптева. Б.Н.Шапуковым была написана книга «Задачи по группам Ли и их приложениям» (М. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002) , переведенная на испанский язык.
Идеи А.З.Петрова развивались его учениками на кафедре теории относительности и гравитации Казанского университета.
Научные интересы Владимира Романовича Кайгородова (1936–2015) связаны с применением инвариантно-групповых методов к исследованию римановых и псевдоримановых пространств произвольной сигнатуры с рекуррентной структурой тензора кривизны и их приложениями в теории тяготения. Используя метод Ньюмена-Пенроуза и инвариантно-групповой подход, В.Р.Кайгородов и его ученики решили проблему выделения точных решений уравнений Эйнштейна с космологической постоянной и электродинамической правой частью для алгебраически специальных полей тяготения.
Исследования Аси Васильевны Аминовой (род. в 1942 г.) и её учеников посвящены разработке инвариантно-групповых методов, а также методов финслеровой и комплексной дифференциальной геометрии в теории проективных отображений пространственно-временных и фазовых многообразий с кэлеровой, кватернионной и суперримановой структурами, развитию концепции суперсимметрии как автоморфизма супергеометрической структуры и их приложениям в квантовой теории поля, космологии и теории гравитации. В трудах А.В.Аминовой решены проблема Ли и классическая геометрическая задача определения псевдоримановых метрик с соответствующими геодезическими, развит инвариантно-групповой подход к построению геометрической теории дифференциальных уравнений, установлена тесная связь между проективными преобразованиями и группами симметрии гамильтоновых систем и преобразованиями Ли-Беклунда уравнений Гамильтона-Якоби с квадратичными гамильтонианами. По результатам исследований А.В.Аминовой опубликована монография «Проективные преобразования псевдоримановых многообразий» (Москва, «Янус-К», 2003).
Ученик А.П.Широкова Виктор Егорович Фомин (род. в 1947 г.) защитил кандидатскую диссертацию на тему «О дифференциальной геометрии банаховых многообразий», в которой им были построены основы дифференциальной геометрии гладких многообразий банахова типа. Вместе с аспирантами им изучались многообразия типа Фреше поточечно-конформных структур на гладких компактных многообразиях, многообразия компактных подмногообразий конечномерных гладких многообразий, многообразия над банаховыми алгебрами, различные аспекты дифференциальной геометрии гильбертова пространства.
Исследования Шурыгина Вадима Васильевича (род. в 1952 г.), ученика А.П.Нордена, заведующего кафедрой геометрии в 2007-2016 годах, посвящены геометрии и топологии многообразий над локальными алгебрами и их применению в дифференциальной геометрии высшего порядка. Им построен аналог когомологий Вайсмана–Молино для многообразий над локальными алгебрами, с помощью которого построены препятствия к существованию голоморфных связностей на этих многообразиях, в терминах тривиальности когомологий с коэффициентами в некотором неабелевом пучке получен ответ на вопрос об эквивалентности многообразия над локальной алгеброй некоторому расслоению Вейля, в терминах когомологий Молино для некоторого слоеного главного расслоения им были представлены препятствия для существования связностей Эресмана на многообразиях над локальной алгеброй. Вместе с аспирантами им изучаются обобщенные трансверсальные структуры, возникающие на гладких многообразиях над локальными алгебрами, обобщенные функторы Вейля на категориях многообразий, зависящих от параметров.
Научные интересы Михаила Арменовича Малахальцева (род. в 1961 г.), ученика А.П.Нордена, руководителя отдела геометрии НИИММ имени Н.Г.Чеботарева при Казанском университете в 1996-2011 годах, посвящены различным областям дифференциальной геометрии и топологии и, в частности, геометрии и топологии слоений и гладких многообразий над алгебрами. Им построен аналог когомологий Дольбо для многообразий над алгеброй дуальных чисел, построенные когомологии применены для описания пространства деформаций структур многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе, построены характеристические классы (X,G)-слоений и указаны способы их вычисления, с помощью комплекса Спенсера производной Ли им построены тонкие резольвенты пучков инфинитезимальных симметрий ряда G-структур, для многообразий, наделенных симплектической структурой с особенностями Мартине, построены тонкие резольвенты для пучков инфинитезимальных симметрий 2-форм непостоянного ранга, изучены потоки Риччи на поверхностях трехмерного евклидова пространства, построены инварианты субриманова многообразия размерности (3,2) вдоль поверхности неконтактности распределения.
Учеником М.А.Малахальцева Петром Николаевичем Иваньшиным (род. в 1979 г.) защищена кандидатская диссертация на тему «Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного локально свободным действием группы». В настоящее время им исследуется поведение чебышевского центра и других точек наилучшего приближения в метрических пространствах неположительной кривизны, в том числе с приложением к задачам механики.
Другой ученик М.А.Малахальцева, Шурыгин Вадим Вадимович (род. в 1980 г.), защитил кандидатскую диссертацию на тему «Дифференциальные комплексы, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями», в которой, в частности, исследованы пуассоновы структуры на расслоениях Вейля. В настоящее время им исследуются дифференциальные инварианты дифференциальных уравнений относительно действия различных псевдогрупп преобразований.
Научные интересы Сосова Евгения Николаевича (род. в 1959 г.), ученика А.П.Широкова, лежат в области метрической геометрии. В докторской диссертации на тему «Геометрии выпуклых и конечных множеств геодезического пространства» им решен ряд актуальных задач геометрии геодезических пространств. В настоящее время им исследуются геометрические свойства наилучших аппроксимирующих множеств для ограниченных множеств метрических пространств, метрические инварианты метрических пространств с приложением к распознаванию образов, аппроксимируемых конечным числом точек.
Константин Борисович Игудесман (род. в 1974 г.), ученик В.Е.Фомина, защитил кандидатскую диссертацию на тему «Дифференциальная геометрия бесконечномерных многообразий над алгебрами». К области научных интересов К.Б.Игудесмана помимо пространств над алгебрами и бесконечномерных пространств принадлежат фрактальная геометрия, теория меры и нелинейная динамика. Им найден критерий инвариантности меры при действии оснащенной многозначной трансформации, доказано, что рандомизированный алгоритм построения фракталов применим также и для построения суперфракталов, исследовано распределение, полученное в результате применения этого алгоритма.
Научные интересы Павла Игоревича Трошина (род. в 1983 г.), ученика К.Б.Игудесмана, принадлежат области фрактальной геометрии и стохастических динамических систем. В кандидатской диссертации на тему «Многозначные динамические системы и системы итерированных функций» им построены инвариантные меры для семейства двузначных динамических систем на отрезке, исследованы системы итерированных функций на комплексной плоскости и над телом кватернионов.