К.Б. Сабитов1,2, А.Р. Зайнуллов1
1Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак, 453103, Россия
2Стерлитамакский филиал Института стратегических исследований Республики Башкортостан, г. Стерлитамак, 453103, Россия
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.2.274-291
Для цитирования: Сабитов К.Б., Зайнуллов А.Р., Обратные задачи для уравнения теплопроводности по отысканию начального условия и правой части // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 2. – С. 274–291. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.2.274-291.
For citation: Sabitov K.B., Zaynullov A.R. On the theory of the known inverse problems for the heat transfer equation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 2, pp. 274–291. doi: 10.26907/2541-7746.2019.2.274-291. (In Russian)
Аннотация
Для уравнения теплопроводности изучены обратные задачи по отысканию начального условия и правой части. Предварительно в явном виде построено решение начальнограничной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с указанием достаточных условий разрешимости задачи. На основании решения начально-граничной задачи установлен критерий единственности решения обратной задачи по определению начального условия. Обратная задача по нахождению сомножителя правой части, зависящей от времени, эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. На основе однозначной разрешимости этого уравнения в классе непрерывных функций получены теоремы однозначной разрешимости обратной задачи. Решение обратной задачи по нахождению сомножителя правой части, зависящего от пространственной координаты, построено в виде ряда Фурье по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи; установлен критерий единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решения поставленной задачи.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, обратные задачи, спектральный метод, интегральное уравнение, единственность, существование, устойчивость
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РФФИПоволжье (проект № 14-01-97003), РФФИ-РБ (проект № 17-41-020516).
Литература
1. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. – М.: Изд–во МГУ, 1994. – 208 с.
2. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. – 457 с.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.Н. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит. 1966. – 724 с.
4. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит, 2013. – 352 с.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 749 c.
6. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа. I // Дифференц. уравнения. – 1987. – Т. 23, № 10. – С. 1791–1799.
7. Соловьев В.В. Определение источников и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае // Дифференц. уравнения. – 1995. – Т. 31, № 5. – С. 1060–1069.
8. Соловьев В.В. Существование решения в «целом» обратной задачи определения источника в квазилинейном уравнении параболического типа // Дифференц. уравнения. – 1996. – Т. 32, № 4. – С. 536–544.
9. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Докл. РАН. – 2009. – Т. 429, № 4. – С. 451–454.
10. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо–гиперболического типа // Матем. заметки. – 2010. – Т. 87. № 6. – С. 907–918.
11. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сб. – 1992. – Т. 184, № 4. – С. 49–68.
12. Костин А.Б. Разрешимость одной проблемы моментов и ее связь с параболической обратной задачей // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. – 1995. – № 1. – С. 28–33.
13. Орловский Д.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения // Дифференц. уравнения. – 1990. – Т. 26, № 9. – С. 1614–1621.
14. Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. Критерий единственности в обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения с нестационарным неоднородным слагаемым // Матем. заметки. – 2005. – Т. 77, № 2. – С. 273–290.
15. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. – М.: Наука, 1978. – 206 с.
Поступила в редакцию
27.10.17
Сабитов Камиль Басирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа; заведующий лабораторией прикладной
математики и информатики
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
пр-т Ленина, д. 49, г. Стерлитамак, 453103, Россия
Стерлитамакский филиал Института стратегических исследований Республики Башкортостан
ул. Одесская, д. 68, г. Стерлитамак, 453103, Россия
E-mail: sabitov_fmf@mail.ru
Зайнуллов Артур Рашитович, аспирант кафедры математического анализа
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
пр-т Ленина, д. 49, г. Стерлитамак, 453103, Россия
E-mail: arturzayn@mail.ru
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.