А.А. Семенов1, С.С. Леонов2
1Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, г. Санкт-Петербург, 190005, Россия
2Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, 125993, Россия
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.2.230-249
Для цитирования: Семенов А.А., Леонов С.С. Метод непрерывного продолжения решения по наилучшему параметру при расчете оболочечных конструкций // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 2. – С. 230–249. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.2.230-249.
For citation: Semenov A.A., Leonov S.S. The continuous method of solution continuation with respect to the best parameter in the calculation of shell structures. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 2, pp. 230–249. doi: 10.26907/2541-7746.2019.2.230-249. (In Russian)
Аннотация
В работе рассматривается подход к решению задач прочности и устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций с учетом поперечных сдвигов и ортотропии материала. Численное моделирование подобных задач при использовании метода Ритца сводится к системам нелинейных алгебраических уравнений. Их численное решение сопряжено с рядом трудностей, связанных с наличием на кривой множества решений предельных особых точек или точек бифуркации, в которых матрица Якоби вырождается. Обойти эти трудности позволяет метод продолжения решения по параметру. Приводится описание трех вариантов метода продолжения решения: метод М. Лаэя, метод Д.Ф. Давиденко и метод наилучшей параметризации. Обсуждаются их достоинства и недостатки. На примере расчета пологих оболочек двоякой кривизны, прямоугольных в плане, показывается применимость данного метода к решению задач прочности и устойчивости оболочечных конструкций. Проводится верификация предложенного подхода.
Ключевые слова: продолжение решения по параметру, наилучшая параметризация, метод Ритца, оболочка, прочность, устойчивость
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 18-19-00474).
Литература
1. Lahaye M.E. Une metode de resolution d'une categorie d'equations transcendentes // Compter Rendus hebdomataires des seances de L'Academie des sciences. – 1934. – V. 198, No 21. – P. 1840–1842.
2. Lahaye M.E. Solution of system of transcendental equations // Acad. R. Belg. Bull. Cl. Sci. – 1948. – V. 5. – P. 805–822.
3. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. – 1953. – Т. 88, № 4. – С. 601–602.
4. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Укр. матем. журн. – 1953. – Т. 5, № 2. – С. 196–206.
5. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // Прикл. матем. и механика. – 1965. – Т. 29, Вып. 5. – С. 894–901.
6. Рикс Э. Применение метода Ньютона к задаче упругой устойчивости // Прикл. механика. – 1972. – № 4. – С. 204–210.
7. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. – М.: Наука, 1988. – 232 с.
8. Allgower E.L., Georg K. Introduction to Numerical Continuation Methods. – Berlin; Heidelberg: Springer, 1990. – 388 p.
9. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 224 с.
10. Кузнецов Е.Б. Некоторые приложения метода продолжения решения по наилучшему параметру. – М.: Изд-во МАИ, 2013. – 160 с.
11. Кузнецов Е.Б. Параметризация краевых задач и прохождение точек бифуркации. – М.: Изд-во МАИ, 2016. – 160 с.
12. Кузнецов Е.Б., Леонов С.С. Параметризация задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с предельными особыми точками // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2017. – Т. 57, № 6. – С. 934–957.
13. Кузнецов Е.Б., Леонов С.С. Примеры параметризации задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с предельными особыми точками // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2018. – Т. 58, № 6. – С. 914–933.
14. Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П. Решение задачи Коши для жестких систем с гарантированной точностью методом длины дуги // Матем. моделирование. – 2014. – Т. 26, № 7. – С. 3–18.
15. Белов А.А., Калиткин Н.Н. Численные методы решения задач Коши с контрастными структурами // Модел. и анализ информ. систем. – 2016. – Т. 23, № 5. – С. 529–538.
16. Белов А.А., Калиткин Н.Н. Особенности расчета контрастных структур в задачах Коши // Матем. моделирование. – 2016. – Т. 28, № 10. – С. 97–109.
17. Москаленко Л.П. Методика исследования устойчивости пологих ребристых оболочек на основе метода продолжения решения по наилучшему параметру // Вестн. гражд. инженеров. – 2011. – № 4. – С. 161–164.
18. Semenov A.A. Strength and stability of geometrically nonlinear orthotropic shell structures // Thin-Walled Struct. – 2016. – V. 106. – P. 428–436. – doi: 10.1016/j.tws.2016.05.018.
19. May S., Vignollet J., de Borst R. A new arc-length control method based on the rates of the internal and the dissipated energy // Eng. Comput. – 2016. – V. 33, No 1. – P. 100–115. – doi: 10.1108/EC-02-2015-0044.
20. Wang X., Ma T.-B., Ren H.-L., Ning J.-G. A local pseudo arc-length method for hyperbolic conservation laws // Acta Mech. Sin. – 2015. – V. 30, No 6. – P. 956–965. – doi: 10.1007/s10409-014-0091-0.
21. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек. – М.: Изд-во МАМИ, 2004. – 162 с.
22. Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численный анализ элементов конструкций машин и приборов. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. – 479 с.
23. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. – 119 с.
24. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1975. – № 5. – С. 189–191.
25. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. – М.: Машиностроение, 1976. – 278 с.
26. Трушин С.И., Михайлов А.В. Устойчивость и бифуркации гибких пологих сетчатых оболочек // Вестн. НИЦ Строительство. – 2010. – № 2. – С. 150–158.
27. Luo K., Liu C., Tian Q., Hu H. Nonlinear static and dynamic analysis of hyper-elastic thin shells via the absolute nodal coordinate formulation // Nonlinear Dyn. – 2016. – V. 85, No 2. – P. 949–971. – doi: 10.1007/s11071-016-2735-z.
28. Kundu C.K., Han J.-H. Vibration and post-buckling behavior of laminated composite doubly curved shell structures // Adv. Compos. Mater. – 2009. – V. 18, No 1. – P. 21– 42. – doi: 10.1163/156855108X385320.
29. Alijani F., Amabili M., Karagiozis K., Bakhtiari-Nejad F. Nonlinear vibrations of functionally graded doubly curved shallow shells // J. Sound Vib. – 2011. – V. 330, No 7. – P. 1432–1454. – doi: 10.1016/j.jsv.2010.10.003.
30. Mouhat O., Khamlichi A. Effect of loading pulse duration on dynamic buckling of stiffened panels // MATEC Web Conf. – 2014. – V. 16. – Art. 07006, P. 1–5. – doi: 10.1051/matecconf/20141607006.
31. Zhao X., Liew K.M. Geometrically nonlinear analysis of functionally graded shells // Int. J. Mech. Sci. – 2009. – V. 51, No 2. – P. 131–144. – doi: 10.1016/j.ijmecsci.2008.12.004.
32. Khan A.H., Patel B.P. On the nonlinear dynamics of bimodular laminated composite conical panels // Nonlinear Dyn. – 2015. – V. 79, No 2. – P. 1495–1509. – doi: 10.1007/s11071-014-1756-8.
33. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Контактная постановка задач механики подкрепленных на контуре трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем // Изв. вузов. Матем. – 2017. – № 1. – С. 77–85.
34. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Осесимметричные задачи о геометрически нелинейном деформировании и устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с контурными подкрепляющими стержнями // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 4. – С. 395–428.
35. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 3 т. – М.: Дрофа, 2003. – Т. 2: Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных. – 720 с.
36. Карпов В.В., Семенов А.А. Безразмерные параметры в теории подкрепленных оболочек // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2015. – № 3. – С. 74–94. – doi: 10.15593/perm.mech/2015.3.07.
37. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. – М.: АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2002. – 420 с.
38. Wang X. Nonlinear stability analysis of thin doubly curved orthotropic shallow shells by the differential quadrature method // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. – 2007. – V. 196. – P. 2242–2251. – doi: 10.1016/j.cma.2006.11.009.
39. van Campen D.H., Bouwman V.P., Zhang G.Q., Zhang J., ter Weeme B.J.W. Semianalytical stability analysis of doubly-curved orthotropic shallow panels – considering the effects of boundary conditions // Int. J. Non-Linear Mech. – 2002. – V. 37. – P. 659–667. – doi: 10.1016/S0020-7462(01)00090-7.
Поступила в редакцию
08.04.19
Семенов Алексей Александрович, кандидат технических наук, заведующий кафедрой информационных технологий
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет
ул. 2-я Красноармейская, д. 4, г. Санкт-Петербург, 190005, Россия
E-mail: sw.semenov@gmail.com
Леонов Сергей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
моделирования динамических систем
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия
E-mail: powerandglory@yandex.ru
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.