Бадриев И.Б.1, Макаров М.В.1, Паймушин В.Н.1,2
1 Казанский Приволжский федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
2 Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева, г. Казань, 420111, Россия
Аннотация
Рассмотрена геометрически нелинейная задача о продольно-поперечном изгибе по цилиндрической форме трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем, подкрепленной в торцевых сечениях абсолютно твердыми телами, предназначенными для обеспечения передачи нагрузки на несущие слои при взаимодействии с другими элементами конструкций. Использованы полученные ранее уравнения уточненной геометрически нелинейной теории, позволяющие описать процесс их докритического деформирования и выявить все возможные формы потери устойчивости несущих слоев (синфазные, антифазные, смешанные изгибные и смешанные изгибно-сдвиговые, а также произвольные, включающие в себя все выше перечисленные). Получение указанных уравнений проведено путем введения в рассмотрение в качестве неизвестных контактных усилий взаимодействия внешних слоев с заполнителем, а также внешних слоев и заполнителя с подкрепляющими телами во всех точках поверхностей их сопряжения. Разработан численный метод решения сформулированной задачи. Построение метода проведено путем предварительного сведения задачи к системе интегро-алгебраических уравнений, при решении которой использован метод конечных сумм. Предложена методика изучения докритического геометрически нелинейного поведения пластины при ее торцевом сжатии через подкрепляющее тело. Приведены результаты численных экспериментов. Проведен анализ результатов экспериментов.
Ключевые слова: трехслойная пластина, трансверсально-мягкий заполнитель, контурное подкрепляющее тело, средний изгиб пластины, уточненная модель заполнителя, контактные напряжения, интегро-алгебраические уравнения, метод конечных сумм, геометрически нелинейное деформирование, докритическое поведение
Благодарности. Результаты исследований получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России № 9.5762.2017/ВУ, проект № 9.1395.2017/ПЧ (постановка задачи, проведение численных экспериментов и анализ их результатов) и частично за счет гранта Российского научного фонда, проект № 16-11-10299 (разработка численного метода).
Литература
1. Кобелев В.Н. Расчет трехслойных конструкций. – М.: Машиностроение, 1984. – 303 с.
2. Bank L.C. Composites for Construction: Structural Design with FRP Materials. – New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2006. – 552 p.
3. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. On the interaction of composite plate having a vibration-absorbing covering with incident acoustic wave // Russ. Math. – 2015. – V. 59, No 3. – P. 66–71. – doi: 10.3103/S1066369X1503007X.
4. Frostig Y. Elastica of sandwich panels with a transversely flexible core – A high-order theory approach // Int. J. Solids Struct. – 2009. – V. 46. – P. 2043–2059. – doi: 10.1016/j.ijsolstr.2008.05.007.
5. Hollaway L.C. Polymers, fibres, composites and the civil engineering environment: A personal experience // Adv. Struct. Eng. – 2010. – V. 13, No 5. – P. 927–960. – doi: 10.1260/1369-4332.13.5.927.
6. Дятченко С.В., Иванов А.П. Технология изготовления корпусов судов из полимерных композиционных материалов. – Калининград : Изд-во Калинингр. гос. техн. ун-та, 2007. – 156 с.
7. Прохоров Б.Ф., Кобелев В.Н. Трехслойные конструкции в судостроении. – Л.: Судостроение, 1972. – 344 с.
8. Raicu A. The advantages of the composite materials used in shipbuilding and marine structure // J. Marine Technol. Environ. – 2012. – V. 1. – P. 99–102.
9. Marine Applications of Advanced Fibre-reinforced Composites / Ed. by J. Graham-Jones, J. Summerscales. – Woodhead Publ., 2015. – 360 p.
10. Васильев В.В., Добряков А.А., Дудченко А. А. Основы проектирования и изготовления конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов. – М.: МАИ, 1985. – 218 с.
11. Крысин В.Н. Слоистые клееные конструкции в самолётостроении. – М.: Машиностроение, 1980. – 232 с.
12. Павлов H.A. Конструкция ракет и космических аппаратов. – М: Машиностроение, 1993. – 148 с.
13. Mangalgiri P.D. Composite materials for aerospace applications // Bull. Mater. Sci. – 1999. – V. 22, No 3. – P. 657–664. – doi: 10.1007/BF02749982.
14. Bouvet C. Mechanics of Aeronautical Composite Materials. – N. Y.: John Wiley & Sons, Inc., 2017. – 309 p.
15. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. – М: Машиностроение, 1973. – 168 с.
16. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. – М: Машиностроение, 1980. – 375 с.
17. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикл. механика. – 1972. – Т. 8, № 6. – С. 5–17.
18. Noor A. K., Burton W.S., Bert Ch.W. Computational models for sandwich panels and shells // Appl. Mech. Rev. – 1996. – V. 49. – P. 155–199.
19. Паймушин В.Н. Нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с дефектами в виде участков непроклея // Прикл. механика. – 1987. – № 11. – С. 32–38.
20. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (нелинейные уравнения докритического равновесия оболочек с трансверсально-мягким заполнителем) // Изв. вузов. Матем. – 1994. – № 11. – С. 29–42.
21. Paimushin V.N., Bobrov S.N. Refined geometric nonlinear theory of sandwich shells with a transversely soft core of medium thickness for investigation of mixed buckling forms // Mech. Compos. Mater. – 2000. – V. 36, No 1. – P. 59–66.
22. Badriev I.B., Banderov V.V., Makarov M.V., Paimushin V.N. Determination of stress-strain state of geometrically nonlinear sandwich plate // Appl. Math. Sci. – 2015. – V. 9, No 78. – P. 3887–3895. – doi: 10.12988/ams.2015.54354.
23. Badriev I.B., Banderov V.V., Garipova G.Z., Makarov M.V., Shagidullin R.R. On the solvability of geometrically nonlinear problem of sandwich plate theory // Appl. Math. Sci. – 2015. – V. 9, No 82. – P. 4095–4102. – doi: 10.12988/ams.2015.54358.
24. Badriev I.B., Garipova G.Z., Makarov M.V., Paymushin V.N. Numerical solution of the issue about geometrically nonlinear behavior of sandwich plate with transversal soft filler // Res. J. Appl. Sci. – 2015. – V. 10, N. 8. – P. 428–435. – doi: 10.3923/rjasci.2015.428.435.
25. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Геометрически нелинейная задача о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2016. – Т. 158, кн. 4. – С. 453–468.
26. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Solvability of physically and geometrically nonlinear problem of the theory of sandwich plates with transversally-soft core // Russ. Math. – 2015. – V. 59, No 10. – P. 57–60. – doi: 10.3103/S1066369X15100072.
27 Badriev I.B., Garipova G.Z., Makarov M.V., Paimushin V.N., Khabibullin R.F. Solving physically nonlinear equilibrium problems for sandwich plates with a transversally soft core // Lobachevskii J. Math. – 2015. – V. 369, No 4. – P. 474–481. – doi: 10.1134/S1995080215040216.
28. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Numerical investigation of physically nonlinear problem of sandwich plate bending // Proc. Eng. – 2016. – V. 150. – P. 1050–1055. – doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.213.
29. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2017. – № 1. – С. 39–51. – doi: 10.15593/perm.mech/2017.1.03.
30. Paimushin V.N. Theory of moderately large deflections of sandwich shells having a transversely soft core and reinforced along their contour // Mech. Compos. Mater. – 2017. – V. 53, No 1. – P. 1–16. – doi: 10.1007/s11029-017-9636-1.
31. Paimushin V.N. Contact formulation of non-linear problems in the mechanics of shells with their end sections connected by a plane curvilinear rod // J. Appl. Math. Mech. – 2014. – V. 78, No 1. – P. 84–89. – doi: 10.1016/j.jappmathmech.2014.05.010.
32. Lukankin S.A., Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. Non-classical forms of loss stability of cylindrical shells joined by a stiffening ring for certain forms of loading // J. Appl. Math. Mech. – 2014. – V. 78, No 4. – P. 395–408. – doi: 10.1016/j.jappmathmech.2014.12.011.
33. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения пространственных задач сопряжения деформируемых тел // Докл. АН СССР. – 1983. – Т. 273, № 5. – С. 1083–1086.
34. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1976. – 156 с.
35. Samarskii A.A. The theory of difference schemes. – N. Y.; Basel: Marcel Dekker, Inc, 2001. – 761 p.
36. Даутов Р.З., Паймушин В.Н. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвёртого порядка // Изв. вузов. Матем. – 1996. – № 10. – С. 13–25.
37. Даутов Р.З., Карчевский М.М., Паймушин В.Н. К методу интегрирующих матриц для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем. – 2003. – № 7. – С. 18–26.
38. Карчевский М.М. Итерационные схемы для уравнений с монотонными операторами // Изв. вузов. Матем. – 1971. – № 5. – С. 32–37.
39. Badriev I.B., Karchevskii M.M. Convergence of an iterative process in a Banach space // J. Math. Sci. – 1994. – V. 71, No 6. – P. 2727–2735. – doi: 10.1007/BF02110578.
40. Макаров М.В., Бадриев И.Б., Паймушин В.Н. Нелинейные задачи о смешанных формах потери устойчивости трехслойных пластин при продольно-поперечном изгибе // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. – 2015. – Т. 20, № 5. – С. 1275–1278.
41. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Решение нелинейных задач теории многослойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы Десятой Междунар. конф. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. – С. 103–107.
Поступила в редакцию
24.03.17
Бадриев Ильдар Бурханович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: ildar.badriev1@mail.ru
Макаров Максим Викторович, ассистент кафедры анализа данных и исследования операций
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: makarovmaksim@mail.ru
Паймушин Виталий Николаевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; профессор кафедры прочности конструкций
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева
ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111, Россия
E-mail: vpajmushin@mail.ru
Для цитирования: Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Продольно-поперечный изгиб по цилиндрической форме трехслойной пластины, подкрепленной в торцевых сечениях абсолютно твердыми телами // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 2. – С. 174–190.
For citation: Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Longitudinal and transverse bending on the cylindrical shape of a sandwich plate reinforced with absolutely rigid bodies in the front sections. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 2, pp. 174–190. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.