Работы по алгебре в Казанском университете ведут свое начало от Н.И. Лобачевского. Ряд оригинальных результатов Н.И. Лобачевского по алгебре был изложен в его замечательном учебнике «Алгебра или вычисления конечных» (1834). В нем представлен новый метод отделения корней (так называемый метод Лобачевского-Греффе), исследованы круговые многочлены, метод решения n линейных уравнений с n неизвестными, совпадающий, по существу, с методом определителей, который не был тогда еще завершен. В своей книге Н.И. Лобачевский подверг глубокому логическому анализу основные понятия алгебры. Как показывает следующая выдержка из предисловия к его учебнику «Алгебра» (1825), Н.И. Лобачевский предвосхитил основные идеи абстрактной алгебры. «Для науки надобно всегда желать, чтобы она стала на твердом основании, чтобы строгость и ясность сохранялась в самых ее началах, как они делаются первым его достоинством в продолжении… Лагранж в своей теории аналитических функций старается избежать употребления бесконечномалых; между тем он не усомнился ввести в свои исчисления воображаемый корень, который сам собою не существует, а только может быть понимаем в его свойствах: последнего уже и довольно… Положить первые и твердые основания вообще для всех родов вычислений употребительных в математике – главная цель алгебры». 

Существенное влияние на научную активность казанских математиков с 80-х годов XIX века в области теории чисел оказал воспитанник Петербургского университета А.В. Васильев. В Казанском университете А.В. Васильев работал с 1874 по 1907 гг. Находясь в заграничных командировках (1879 и 1882 гг.), он слушал лекции Л. Кронекера и К. Вейрштрасса (Берлин), Ш. Эрмита (Париж) и Ф. Клейна (Лейпциг). Егомагистерская диссертация «О функциях рациональных, аналогичных с функциями двоякопериодическими» (Казань, 1880) посвящена рассмотрению функций инвариантных относительно конечных дробно-линейных инвариантных подстановок, где он вплотную подошел к открытию автоморфных функций. В докторской диссертации «Теория отделения корней систем алгебраических уравнений» (1884) А.В. Васильев развивает и применяет метод характеристик Кронекера, причем он использует геометрию многомерных пространств. А.В. Васильев был организатором и душой Казанского физико-математического общества, основанного в 1880 г. В изданиях Казанского физико-математического общества публиковались наиболее интересные статьи отечественных и зарубежных математиков, оригинальные работы по математике. По теории чисел наиболее значительные результаты в тот период были получены П.С. Порецким, П.В. Преображенским и А.В. Васильевым. Особо стоит отметить большую заслугу А.В. Васильева в освещении жизни и деятельности Н.И. Лобачевского, популяризации его идей. 

Казанская алгебраическая школа была основана выдающимся математиком, членом-корреспондентом АН СССР Н.Г. Чеботаревым, он же руководил основанной им в 1934 г. кафедрой алгебры вплоть до своей кончины в 1947 г.

На 30-е и 40-е годы приходится период расцвета алгебраических исследований в университете. В это время зарождалась Казанская алгебраическая школа, постепенно превратившая Казань в один из мировых алгебраических центров. Основную роль в формировании этой школы сыграл организованный Н.Г. Чеботаревым алгебраический семинар, участниками которого в те годы были, кроме Николая Григорьевича, его ученики И.Д. Адо, В.В. Морозов, Н.Н. Мейман, аспиранты Николая Григорьевича А.И. Гаврилов, В.Н. Цапырин, А.В. Дороднов. Именно на этом семинаре определились основные направления научно-исследовательской деятельности коллектива, часть из которых продолжает развиваться в Казанском университете и в настоящее время.

Прежде всего, крупные результаты во многих областях алгебры были получены самим Н.Г. Чеботаревым. В теории Галуа им была определена структура абсолютной группы Галуа полей классов и установлены ограничения, наложенные на простые делители числа классов. В теории групп Ли Н.Г. Чеботарев дал доказательство высказанного еще в 1894 г. Картаном предположения, что подгруппы простых групп максимального порядка регулярны, и нашел аналитический признак наличия меры у заданного представления группы Ли.

Целый ряд работ Н.Г. Чеботарева относится к проблеме сведения решения алгебраических уравнений высших степеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравнений возможно более простого вида, известной под общим названием ''проблема резольвент''.

В терминах суперпозиций проблема резольвент формулируется так: для произвольного натурального числа n найти такое наименьшее число k, что корень общего уравнения n-ой степени как функция от его коэффициентов представляется в виде суперпозиции алгебраических функций от k переменных. Проблема резольвент в такой формулировке связана с тринадцатой проблемой Гильберта из его знаменитой серии,  состоящей из двадцати трех проблем математики, решение которых, по словам самого Гильберта, ''может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки''.

Н.Г. Чеботарев проблеме резольвент посвятил целую серию работ. За совокупность работ в этой области ему посмертно была присуждена Сталинская премия 1-ой степени (1948). Н.Г. Чеботарев при работе над проблемой резольвент столкнулся с вопросом ''об одевании'' конечных групп группами Ли. Эту задачу он предложил своему ученику И.Д. Адо, который блестяще справился с поставленной задачей, получив точное конечномерное представление конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль (1935). Этот результат был настолько важен в доказательстве эквивалентности групп и алгебр Ли, что И.Д. Адо была присуждена степень доктора физ.-мат. наук при защите им кандидатской диссертации. В.В. Морозову Н.Г. Чеботарев предложил проблему классификации примитивных групп, поставленную еще Софусом Ли. И в 1938 г. В.В. Морозов добивается замечательных успехов,  получив общие и полные результаты для пространств произвольной размерности. В том же году он защищает кандидатскую диссертацию в Московском государственном университете. Занимаясь классификацией примитивных групп, он естественно приходит к проблеме классификации всех однородных примитивных пространств. Эта проблема была сведена им к проблеме классификации всех максимальных подгрупп полупростых групп Ли. В.В. Морозов дал полную классификацию максимальных неполупростых подгрупп полупростых групп Ли и в 1943 г. защитил докторскую диссертацию. В дальнейшем, в 1951 г. Е.Б. Дынкин в своей докторской диссертации получил классификацию  полупростых максимальных подгрупп полупростых групп Ли. Таким образом, усилиями В.В. Морозова и Е.Б. Дынкина была полностью решена поставленная еще в XIX веке С. Ли проблема классификации комплексных однородных примитивных многообразий. Основу метода В.В. Морозова составляет доказанная им замечательная теорема, утверждающая регулярность всякой максимальной неполупростой подалгебры полупростой алгебры Ли. Первоначальное доказательство этой теоремы в докторской диссертации было довольно громоздким. Позднее, в 1950 г., В.В. Морозов нашел изящное общее доказательство этой важной теоремы.

Ряд учеников Н.Г. Чеботарева изучали поставленную им проблему продолжаемости полиномов. Полином f(x) называется M-продолжаемым, где M – некоторое множество комплексных чисел, если путем добавления к нему членов высших порядков можно получить полином, все корни которого будут принадлежать M. А.И. Гаврилов доказал, что всякий полином является M-продолжаемым, если M – окружность ненулевого радиуса, центр которого находится в начале координат. Другой аспирант Николая Григорьевича Н.Н. Мейман исследовал случай, когда M является множеством вещественных чисел. В этом случае проблема продолжаемости полинома сводится к проверке выполнения бесконечного числа неравенств. Н.Н. Мейману удалось разработать алгоритм, с помощью которого за конечное число шагов удается определить, выполняются ли эти условия. За эти исследования Н.Н. Мейману также была присуждена степень доктора наук, минуя кандидатскую.

В 1934 г. в процессе работы над книгой «Основы теории Галуа» Н.Г. Чеботарев обратился к одной из классических задач древности – задаче перечисления всех круговых луночек, квадрируемых при помощи циркуля и линейки.

Знаменитой задачей древности, известной как задача о квадратуре круга, является задача о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу. Попытки решения задачи о квадратуре круга, продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. Если взять радиус круга за единицу, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна корню из числа Пи. Таким образом, задача сводится к построению с помощью циркуля и линейки отрезка, длина которого равна корню из числа Пи. Нетрудно доказать, что с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, числовые значения длин которых могут быть получены из рациональных чисел с помощью операций извлечения квадратного корня, а также сложения и умножения. Также легко доказывается, что все такие числа являются алгебраическими, т. е. для каждого из них можно построить многочлен с целыми коэффициентами, корнями которых они являются. Однако, как установил в 1882 г. немецкий математик Ф. Линдеман, число Пи – трансцендентное число, т. е. не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами,  значит трансцендентен и корень из числа Пи. 

Таким образом, задача квадратуры круга неразрешима. В отличие от этой задачи, задача о квадрируемых луночках имеет решения. Круговой луночкой называется замкнутая фигура, образованная дугами двух окружностей. Круговая луночка квадрируема, если с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликий ей квадрат, то есть если ее площадь имеет значение, алгебраически выражаемое через входящие в их построение линейные элементы. Частным случаем круговых луночек являются луночки Гиппократа – найденные древнегреческим геометром Гиппократом Хиосским (V в. до н. э.) квадрируемые луночки. (С помощью этих луночек Гиппократ пытался справиться с задачей о квадратуре круга). Существуют три квадрируемые луночки Гиппократа. Одна из них строится следующим образом: берется четверть круга OAC и на хорде АС, соединяющей концы радиусов ОА и ОС, описывается как на диаметре внешняя по отношению к четверти круга полуокружность. Нетрудно проверить, что площадь луночки равна площади треугольника АOС. Таким образом, луночка квадрируема. Д. Бернулли указал условие, которому должны удовлетворять квадрируемые луночки, и привел уравнение, которому удовлетворяет еще одна (четвертая) квадрируемая луночка.

Задача перечисления всех квадрируемых луночек привлекала внимание многих крупнейших математиков разных времен. Существенное продвижение в решении этой проблемы было достигнуто самим Н.Г. Чеботаревым. Прежде всего, он свел задачу к случаю, когда отношение угловых мер a и ß дуг, ограничивающих луночку, соизмеримо и равно m/n (т.е. для некоторого t, a=m\t, ß =n\t), где m,n взаимно простые натуральные числа, и составил алгебраическое относительно cos t уравнение, которому должны удовлетворять квадрируемые луночки, а это означает, что уравнение должно решаться при помощи извлечения квадратных корней. Последнее в свою очередь означает, что группа Галуа неприводимых множителей этого уравнения должна иметь порядок, равный степени двойки. Н.Г. Чеботарев подробно исследовал случай, когда числа m и n – нечетные взаимно простые натуральные числа. Его ученик А.В. Дороднов позднее (1948) разобрал случай, когда одно из этих чисел четное. Таким образом, задача перечисления всех квадрируемых луночек получила окончательное решение. В конечном итоге выяснилось, что существуют всего пять видов квадрируемых луночек.

Работы Н.Г. Чеботарева и его учеников получили широкое признание во всем мире. В 30-е годы Казань становится одним из мировых центров алгебраических исследований, возникает авторитетная Казанская алгебраическая школа, задающая тон мировым исследованиям по многим направлениям современной алгебры, а ее глава Н.Г. Чеботарев приглашается с обзорными докладами на крупнейшие математические форумы того времени: по теории алгебраических чисел – на первый Всесоюзный математический съезд (Харьков, 1930); по теории Галуа – на Всемирный математический конгресс (Цюрих, 1932) и на второй Всесоюзный математический съезд (Ленинград, 1934).

Смерть Н.Г. Чеботарева, последовавшая в 1947 г. после операции по удалению раковой опухоли, стала тяжелым ударом для математической общественности Казани, в частности, для Казанской алгебраической школы.

Теория групп и алгебр Ли развивалась в работах учеников В.В. Морозова. Исследованиями по теории групп Ли занимались два ученика В.В. Морозова – Я.И. Заботин и Л.Д. Эскин. Я.И. Заботин описал импримитивные группы преобразований 4-х мерного комплексного пространства. После защиты кандидатской диссертации по этой тематике он перешел к изучению задач линейного и выпуклого программирования и их применению к различным экономическим вопросам. Л.Д. Эскин вначале занимался теорией представлений групп Ли. Им были построены операторы Лапласа на группе комплексных унитарных матриц и с их помощью исследовались матричные элементы неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. В цикле работ, выполненных в 60-е годы, Л.Д. Эскин построил фундаментальные решения уравнения теплопроводности на многообразиях комплексных полупростых групп Ли и симметрических римановых пространств. Полученные результаты Л.Д. Эскин применил к построению преобразований Вейерштрасса на симметрических римановых пространствах и получил новый метод вычисления меры Планшереля для этих пространств. В последние годы Л.Д. Эскин развивал методы построения асимптотических разложений в окрестности сингулярных точек для инвариантных решений ряда нелинейных задач математической физики. В 70-е годы задачами по теории групп Ли занимался ученик Л.Д. Эскина – Е.Л. Столов. При реализации представлений классических групп появляются новые специальные функции, обобщающие известные специальные функции. Эти функции возникают как матричные элементы соответствующих представлений. При этом получаются как известные соотношения между старыми специальными функциями, так и новые формулы. Е.Л. Столов изучал асимптотические свойства этих функций. 

Среди работ по теории алгебр Ли в первую очередь следует отметить работы Г.Н. Мубаракзянова и Э.Н. Сафиуллиной, посвященные описанию нильпотентных и разрешимых алгебр Ли малых размерностей. В 50-е годы В.В. Морозов начинает привлекать своих учеников к исследованию алгебр Ли над полями положительной характеристики. Уже в 1952 г. в ДАН СССР выходит работа А.В. Сульдина, в которой он доказывает существование точного конечномерного представления конечномерной алгебры Ли над полем положительной характеристики, т. е. переносит результат И.Д. Адо на случай модулярных алгебр Ли (так принято обычно называть алгебры Ли над полем положительной характеристики). Затем изучением алгебр Ли над полями положительной характеристики занимался А.Х. Долотказин. Обобщая результаты И. Капланского и Р. Блока, он описал строение модулярных алгебр Ли ранга 1. В 70-е годы теорией модулярных алгебр Ли начал заниматься еще один ученик В.В. Морозова – Ю.Б. Ермолаев. Его первые работы были посвящены изучению центра универсальной обертывающей алгебры для алгебры Витта и алгебры Цассенхауза. Строение центра универсальной обертывающей алгебры существенным образом определяет вид неприводимых модулей над этой алгеброй Ли. Ю.Б. Ермолаев нашел образующие и определяющие соотношения между этими образующими для центра универсальной обертывающей алгебры алгебр Витта и Цассенхауза. В дальнейшем Ю.Б. Ермолаев исследовал проблему классификации простых конечномерных алгебр Ли над полем положительной характеристики. Кроме Ю.Б. Ермолаева задачами классификации занимались М.Ю. Целоусов (ученик В.В. Морозова) и Г.О. Эльстинг (ученик Л.Д. Эскина). М.Ю. Целоусов описал алгебры дифференцирований всех алгебр Ли картановского типа. Г.О. Эльстинг занимался переносом некоторых фактов, определенных для градуированных алгебр Ли на алгебры Ли с фильтрацией.

В завершающей стадии реализации проекта по классификации простых модулярных алгебр Ли принял участие выпускник кафедры алгебры, ученик чл.-кор. АНСССР А.И. Кострикина– С.М. Скрябин, который получил глубокие результаты по исследованию алгебр Ли картановского типа и выполнил работу по классификации простых алгебр Ли положительной характеристики и представлений алгебр Ли. Эти результаты легли в основу его докторской диссертации, защищенной в 1999 г. в МГУ.

Наряду с вопросами классификации простых модулярных алгебр Ли рассматривалась задача описания представлений этих алгебр. Этой проблематикой занимался ученик Ю.Б. Ермолаева – Н.А. Корешков. Им получено описание неприводимых представлений p-алгебр Ли картановского типа в терминах индуцированных. Для изучения некоторых вопросов, связанных с неприводимыми модулями, например, для вычисления максимальной размерности неприводимых представлений, необходимо рассмотреть структуру центра универсальной обертывающей алгебры соответствующей алгебры Ли. Н.А. Корешков нашел некоторые серии элементов центра, а для гамильтоновой алгебры ранга один описал множество всех порождающих центра ее универсальной обертывающей алгебры.

Полиадическими числами занимался ученик В.В. Морозова – Е.В. Новоселов. Полиадические числа впервые появились в работе у немецкого математика Ханса Прюфера, опубликованной в 1925 г. Конструкции полиадических чисел предлагали также Герн Гензель, Дж. Фон Нейман. Кольцо полиадических чисел является прямым произведением колец целых p-адических чисел по всем простым числам. Е.В. Новоселов определял кольцо полиадических чисел эквивалентным способом: множество целых чисел можно рассматривать как топологическое кольцо относительно метризуемой топологии, полная систем окрестностей у которой имеет вид n+mZ, тогда кольцо полиадических чисел определяется как пополнение этого топологического кольца. Им была изучена арифметика колец полиадических чисел и построена теория меры и интеграла на таких кольцах. Разработанную теорию Е.В. Новоселов применяет в различных вопросах теории чисел, в частности, им были изучены проблемы, связанные с распределением значений арифметических функций. Отметим также, что результаты, полученные Е.В. Новоселовым, подробно изложены в известной книге А.Г. Постникова «Введение в аналитическую теорию чисел» (Москва, 1971). В настоящее время арифметические свойства полиадических чисел изучаются В.Г. Чирским и его учениками. Также кольцо полиадических чисел под названием кольца целых универсальных чисел находит глубокие приложения в теории абелевых групп (П.А. Крылов, А.А. Фомин). 

По инициативе В.В. Морозова его ученик И.И. Сахаев занялся проблематикой, относящейся к теории колец и модулей. В 60-е годы И.И. Сахаев изучал кольца, над которыми каждый правый конечнопорожденный плоский модуль является проективным. Такие кольца в настоящее время называются правыми S-кольцами. В 1960 г. Басс получил характеризацию совершенных справа колец, т.е. колец над которыми проективны все правые плоские модули. Проблемой характеризации S-колец занимались многие известные специалисты по теории колец и модулей, например, С. Эндо, В. Васкенселос, С. Йондруп. Изучая S-кольца, И.И. Сахаев разработал глубокую технику работы с регулярными в кольцах последовательностями. Используя эту технику, ему удалось получить полное описание правых S-колец. Эти результаты легли в основу его кандидатской диссертации, защищенной в 1969 г. в МГУ.

В 1974 г. Лазаром была выдвинута гипотеза о конечной порожденности каждого проективного модуля, у которого фактормодуль по радикалу Джекобсона конечнопорожден. Для коммутативных колец эта гипотеза была доказана самим Лазаром. Справедливость этой гипотезы для PI-колец была установлена С. Йондрупом. И.И. Сахаевым были получены необходимые и достаточные условия, при которых гипотеза Лазара верна. В 1984 г. была опубликована совместная работа В.Н. Герасимова и И.И. Сахаева, в которой был построен пример полулокального кольца, для которого гипотеза Лазара не выполняется. Эти и другие его результаты легли в основу докторской диссертации И.И. Сахаева, защищенной в 1994 г. в Санкт-Петербургском университете.

Очередное существенное повышение научной активности в области алгебры и ее приложений приходится на 90-е годы. Начиная с 90-ых годов научно-исследовательская работа на кафедре (новое название кафедры – кафедра алгебры и математической логики) проводится по нескольким направлениям. Это – традиционные для кафедры направления по алгебрам Ли и их применениям, по алгебрам Хопфа, теории операд, по теории колец и модулей, теории полуколец и полумодулей, а также по теории вычислимости и вычислимым алгебрам. 

Алгебры Хопфа, их действия и кодействия на ассоциативных алгебрах представляют значительный интерес не только как объекты с весьма богатой алгебраической структурой, но и в связи с возможными приложениями в математической физике. С.М. Скрябиным установлен ряд важных теоретико-кольцевых свойств произвольной артиновой ассоциативной алгебры, вытекающих исключительно из отсутствия ненулевых нильпотентных идеалов этой алгебры, устойчивых относительно действия некоторой алгебры Хопфа. Были получены результаты о проективности и плоскостности алгебры Хопфа как модуля над подалгебрами Хопфа и коидеальными подалгебрами, а также более общие результаты о проективности эквивариантных и коэквивариантных модулей. Разработана теория, обобщающая категорные эквивалентности, связанные с категориями квазикогерентных пучков на однородном пространстве, в духе некоммутативной алгебраической геометрии. В совместной работе с М.С. Еряшкиным доказано существование наибольшей подалгебры Хопфа в любой слабо конечной биалгебре.

Лиевы пучки были введены в работах И.Л. Кантора и Д.Б. Персица в 1989 г. Конструкция лиевых пучков связана с нахождением первых интегралов некоторых гамильтоновых систем. Н.А. Корешковым было показано, что для лиевых пучков имеет место аналог теоремы Ли. Также им был найден критерий нильпотентности для лиевых пучков, который является аналогом теоремы Энгеля. Используя этот критерий, удалось доказать существование Картановской подалгебры в любом лиевом пучке, которая, как и в алгебрах Ли, определяется как нильпотентная подалгебра, совпадающая со своим нормализатором. Оказывается, необходимым свойством обладает нулькомпонента регулярной пары. В настоящее время Н.А. Корешковым проводятся исследования, связанные с классификацией простых лиевых пучков. Были получены результаты при ограничениях на размерность лиевых пучков или размерность их нулькомпоненты.

Учениками И.И. Сахаева в настоящее время проводятся исследования по теории операд и теории колец и модулей. Была решена проблема, поставленная И.И. Сахаевым, об описании колец, над которыми каждый правый модуль является слабо регулярным. Аспирантом Д.Т. Тапкиным для ряда широких классов колец формальных матриц была исследована проблема изоморфизма. Исследованиям по теории операд посвящены работы С.Н. Тронина. Его кандидатская диссертация была посвящена проективным алгебрам, т.е. ретрактам свободных алгебр многообразий линейных алгебр. В дальнейшем были работы по категориям частных, эквивалентности Мориты, алгебраической теории информации, и с 2000 г. цикл работ по теории операд, который привел в 2011 г. к защите докторской диссертации. Особенностью подхода С.Н. Тронина к теории операд (и более общим образом к теории мультикатегорий) является то, что рассматриваются операды не только над симметрическими группами, но и над гораздо более общими объектами – вербальными категориями. Благодаря этому класс обычных (симметрических и несимметрических) операд существенно расширяется, и в него попадают, например, все абстрактные клоны. Таким образом, вся теория многообразий универсальных алгебр может рассматриваться как раздел теории операд, и соотношение между традиционным подходом и подходом операдным напоминает соотношение между комбинаторной теорией групп и общей теорией групп. Помимо этого, С.Н. Тронин построил общую теорию всех возможных супералгебр (мультиоператорных). При этом также использовалась теория операд. В последнее время С.Н. Тронин обратился к алгебраической криптографии и совместно со своими аспирантками К.А. Петуховой и А.Р. Гайнуллиной получил ряд новых результатов. Найдены далеко идущие алгебраические обобщения классической криптосистем RSA и некоторых криптосистем, основанных на трудности проблемы о дискретном логарифме. В последнем случае были использованы операдные методы.

Полукольца и полумодули являются одним из наиболее естественных и при этом весьма широких обобщений колец и модулей, что обуславливает интерес к изучению вопросов о том, в какой мере те или иные классические результаты теории колец и модулей могут быть перенесены на случай полуколец и полумодулей. В частности, развивается так называемая «гомологическая» классификация полуколец, направленная на изучение и описание различных классов полуколец с заданными свойствами полумодулей над ними, – эта область исследований отражена в ряде работ зарубежных математиков, таких как Y. Katsov, X. Wang, A. Patchkoria, O. Sokratova, J.Y. Abuhlail, T.G. Nam и др. С 2006 г. в этом же направлении работает сотрудник кафедры алгебры и математической логики КФУ доцент С.Н. Ильин, опубликовавший в центральных российских и зарубежных журналах по этой тематике порядка 10 статей, в том числе совместно с некоторыми из перечисленных выше математиков. 

Читать продолжение ->